🔵 गोले का आयतन (Volume of Sphere) MCQ Quiz
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गोले का आयतन (Volume of Sphere): Complete Guide with Formula \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\)
गोले का आयतन (Volume of Sphere)
गोले का आयतन (Volume of Sphere) एक त्रि-आयामी आकृति का आयतन है जिसका प्रत्येक बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होता है। गोला एक पूर्णतः सममित आकृति है और इसका आयतन सूत्र गणित के सबसे सुंदर सूत्रों में से एक है।
महत्वपूर्ण तथ्य: (Important Facts:)
- गोले का आयतन सूत्र: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) (Volume of sphere formula: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\))
- गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल: A = 4πr² (Surface area of sphere: A = 4πr²)
- गोले का आयतन हमेशा घन इकाइयों में होता है (cm³, m³, etc.) (Volume of sphere is always in cubic units - cm³, m³, etc.)
- त्रिज्या (r) ही एकमात्र आयाम है जो गोले का आयतन निर्धारित करता है (Radius (r) is the only dimension that determines sphere's volume)
- π का मान 3.14 या 22/7 लिया जाता है (Value of π is taken as 3.14 or 22/7)
गोले का आयतन सूत्र (Volume of Sphere Formula)
Volume = \(\frac{4}{3}\) × π × radius³
V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\)
Formula Components / सूत्र के घटक:
- π (पाई) = गणितीय नियतांक, लगभग 3.14159 या 22/7 (π (pi) = mathematical constant, approximately 3.14159 or 22/7)
- r = गोले की त्रिज्या (Radius of sphere)
- V = गोले का आयतन (Volume of sphere in cubic units)
- r³ = त्रिज्या का घन (Cube of radius) (r³ = Cube of radius)
- \(\frac{4}{3}\) = स्थिरांक जो गोले के आयतन और उसके व्यास वाले बेलन के आयतन के अनुपात से आता है (\(\frac{4}{3}\) = Constant derived from ratio of sphere volume to cylinder volume with same diameter)
📝 Important Note / महत्वपूर्ण नोट
गोले का आयतन सूत्र V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) त्रिज्या के घन (r³) का \(\frac{4}{3}\pi\) गुना है। यह सूत्र आर्किमिडीज द्वारा खोजा गया था जिन्होंने साबित किया कि एक गोले का आयतन उसके घिरे बेलन (जिसकी ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर हो) के आयतन का 2/3 होता है।
The sphere volume formula V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) is \(\frac{4}{3}\pi\) times the cube of radius (r³). This formula was discovered by Archimedes who proved that a sphere's volume is 2/3 of the volume of its circumscribed cylinder (with height and diameter equal to sphere's diameter).
हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
Example 1: Basic Calculation / मूल गणना
Problem / प्रश्न: Find the volume of a sphere with radius 7 cm. (Take π = 22/7)
Answer / उत्तर: The volume of the sphere is approximately 1437.33 cubic centimeters.
Example 2: When Diameter is given / जब व्यास दिया हो
Problem / प्रश्न: A sphere has diameter 14 cm. Find its volume. (π = 22/7)
Answer / उत्तर: Volume = 1437.33 cm³.
Example 3: Finding Radius / त्रिज्या ज्ञात करना
Problem / प्रश्न: Volume = 38808 cm³, find radius. (π = 22/7)
Answer / उत्तर: Radius = 21 cm.
Example 4: Volume to Surface Area Ratio / आयतन से पृष्ठीय क्षेत्रफल अनुपात
Problem / प्रश्न: Find the ratio of volume to surface area of a sphere with radius r.
Answer / उत्तर: Volume:Surface Area = r:3
Example 5: Percentage Increase in Volume / आयतन में प्रतिशत वृद्धि
Problem / प्रश्न: If radius of sphere increases by 20%, what is percentage increase in volume?
Answer / उत्तर: Volume increases by 72.8%.
💡 Calculation Tips / गणना टिप्स
- सूत्र याद रखें: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) (Remember formula: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\))
- व्यास दिया हो तो त्रिज्या = व्यास/2 (If diameter given, radius = diameter/2)
- π का मान प्रश्न के अनुसार लें (22/7, 3.14 या π) (Take value of π as per question - 22/7, 3.14 or π)
- गोले का आयतन हमेशा घन इकाइयों में होता है (cm³, m³, etc.) (Sphere volume is always in cubic units - cm³, m³, etc.)
- त्रिज्या के घन की गणना सावधानी से करें (r³ = r × r × r) (Calculate cube of radius carefully - r³ = r × r × r)
- 22/7 का उपयोग करने का अभ्यास करें (विशेषकर जब r 7 का गुणज हो) (Practice using 22/7, especially when r is multiple of 7)
गोले के सभी सूत्र (All Formulas of Sphere)
| Measurement / माप | Formula / सूत्र | Explanation / व्याख्या |
|---|---|---|
| Volume / आयतन | V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) | Space occupied by sphere / गोले द्वारा घेरा गया स्थान |
| Surface Area / पृष्ठीय क्षेत्रफल | A = 4πr² | Total area of sphere's surface / गोले की सतह का कुल क्षेत्रफल |
| Diameter / व्यास | d = 2r | Twice the radius / त्रिज्या का दोगुना |
| Radius from Volume / आयतन से त्रिज्या | r = ∛[3V/(4π)] | When volume known / जब आयतन ज्ञात हो |
| Radius from Surface Area / पृष्ठीय क्षेत्रफल से त्रिज्या | r = √[A/(4π)] | When surface area known / जब पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात हो |
| Volume of Hemisphere / अर्धगोले का आयतन | V = \(\frac{2}{3}\pi r^{3}\) | Half of sphere volume / गोले के आयतन का आधा |
| Curved Surface Area of Hemisphere / अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल | CSA = 2πr² | Half of sphere surface area / गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा |
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग (Real-World Applications)
🌍 Astronomy & Space / खगोल विज्ञान और अंतरिक्ष:
- ग्रहों, तारों और उपग्रहों की मात्रा गणना (Calculating volume of planets, stars, and satellites)
- अंतरिक्ष अनुसंधान में क्षमता गणना (Capacity calculations in space research)
- गोलाकार टेलिस्कोप और उपकरण डिजाइन (Design of spherical telescopes and instruments)
🏀 Sports & Recreation / खेल और मनोरंजन:
- विभिन्न खेल गेंदों की हवा की मात्रा (फुटबॉल, बास्केटबॉल, टेनिस) (Air volume in various sports balls - football, basketball, tennis)
- गोलाकार पूल और मनोरंजन उपकरण (Spherical pools and recreational equipment)
- खिलौनों और गोलाकार उपकरणों की क्षमता (Capacity of toys and spherical devices)
🏭 Industry & Manufacturing / उद्योग और विनिर्माण:
- गोलाकार टैंक और भंडारण कंटेनर (Spherical tanks and storage containers)
- बीयरिंग्स, गोलियों और गोलाकार यांत्रिक भागों (Bearings, balls, and spherical mechanical parts)
- रासायनिक उद्योग में प्रतिक्रिया कक्ष (Reaction chambers in chemical industry)
- गोलाकार गैस सिलेंडर और दबाव पोत (Spherical gas cylinders and pressure vessels)
🍎 Daily Life & Food / दैनिक जीवन और भोजन:
- संतरे, सेब और अन्य गोल फलों की मात्रा (Volume of oranges, apples and other round fruits)
- गोलाकार खाद्य पदार्थ (लड्डू, गोलाकार चॉकलेट) (Spherical foods - ladoos, spherical chocolates)
- पानी के गोले और गोलाकार पेय कंटेनर (Water balloons and spherical drink containers)
गोला बनाम बेलन और शंकु (Sphere vs Cylinder vs Cone)
| Aspect / पहलू | Sphere / गोला | Cylinder / बेलन | Cone / शंकु |
|---|---|---|---|
| Volume Formula / आयतन सूत्र | V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) | V = πr²h | V = \(\frac{1}{3}\pi r^{2}h\) |
| Surface Area Formula / पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र | A = 4πr² | TSA = 2πr(h+r) | TSA = πr(l+r) |
| Symmetry / सममिति | Complete / पूर्ण | Axial / अक्षीय | Axial / अक्षीय |
| Dimensions / आयाम | 1 (radius) / 1 (त्रिज्या) | 2 (r, h) / 2 (r, h) | 2 (r, h) / 2 (r, h) |
| Volume for same r and h (h=2r) / समान r और h के लिए आयतन (h=2r) | \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) | 2πr³ | \(\frac{2}{3}\pi r^{3}\) |
⚠️ Common Mistakes to Avoid / बचने के लिए सामान्य गलतियाँ
- 4πr³ (त्रिज्या का घन लेकिन 4π से गुणा करना) का उपयोग करना (Using 4πr³ - cube of radius multiplied by 4π)
- \(\frac{4}{3}\pi r^{2}\) (त्रिज्या का वर्ग) का उपयोग करना (Using \(\frac{4}{3}\pi r^{2}\) - square of radius)
- πr³ (बिना 4/3 के) का उपयोग करना (Using πr³ - without 4/3)
- व्यास का उपयोग करना बिना त्रिज्या में बदले (Using diameter without converting to radius)
- त्रिज्या के वर्ग के बजाय त्रिज्या का घन नहीं लेना (Not taking cube of radius instead of square)
- घन इकाइयों के बजाय वर्ग इकाइयों में उत्तर देना (Giving answer in square units instead of cubic units)
- गोले और अर्धगोले के सूत्रों में भ्रम (Confusing sphere and hemisphere formulas)
विशेष मामले (Special Cases)
Case 1: Hemisphere / अर्धगोला
अर्धगोले का आयतन गोले के आयतन का आधा होता है:
Volume of hemisphere is half of sphere volume:
Formula: V = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) = \(\frac{2}{3}\pi r^{3}\)
Example: r=7 cm
V = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7³ = \(\frac{2}{3}\) × 22 × 49 = \(\frac{2}{3}\) × 1078 = 718.67 cm³
Case 2: Spherical Shell / गोलाकार खोल
गोलाकार खोल (खोखले गोले) का आयतन = बाहरी गोले का आयतन - आंतरिक गोले का आयतन:
Volume of spherical shell (hollow sphere) = Volume of outer sphere - Volume of inner sphere:
Formula: V = \(\frac{4}{3}\pi (R^{3} - r^{3})\)
Example: Outer radius R=10 cm, inner radius r=8 cm
V = \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (10³ - 8³) = \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (1000 - 512) = \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × 488 = 2043.09 cm³
Case 3: Volume of Water in Spherical Container / गोलाकार कंटेनर में पानी का आयतन
जब गोलाकार कंटेनर आधा भरा हो:
When spherical container is half full:
Example: Sphere radius r=7 cm, container half full
Volume of water = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) = \(\frac{2}{3}\pi r^{3}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 343 = 718.67 cm³
Case 4: Relation with Circumscribed Cylinder / परिबद्ध बेलन से संबंध
आर्किमिडीज का प्रमेय: गोले का आयतन उसके परिबद्ध बेलन (जिसकी ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर हो) के आयतन का 2/3 होता है:
Archimedes' Theorem: Volume of sphere is 2/3 of volume of circumscribed cylinder (with height and diameter equal to sphere's diameter):
Proof: Cylinder volume = πr²h = πr²(2r) = 2πr³
Sphere volume = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\)
Ratio = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) : 2πr³ = 2:3
मात्रक रूपांतरण (Unit Conversions)
| From / से | To / तक | Conversion Factor / रूपांतरण गुणक | Example / उदाहरण |
|---|---|---|---|
| cm³ to m³ | सेमी³ से मी³ | 1 m³ = 1,000,000 cm³ | 5,000,000 cm³ = 0.005 m³ |
| m³ to cm³ | मी³ से सेमी³ | 1 cm³ = 0.000001 m³ | 0.02 m³ = 20,000 cm³ |
| liters to cm³ | लीटर से सेमी³ | 1 liter = 1000 cm³ | 3.5 liters = 3500 cm³ |
| cm³ to liters | सेमी³ से लीटर | 1 cm³ = 0.001 liter | 4500 cm³ = 4.5 liters |
| gallons to liters | गैलन से लीटर | 1 gallon = 3.78541 liters | 10 gallons = 37.8541 liters |
| liters to gallons | लीटर से गैलन | 1 liter = 0.264172 gallons | 20 liters = 5.28344 gallons |
क्विज टूल का उपयोग कैसे करें (How to Use This Quiz Tool)
- कठिनाई स्तर चुनें: आसान, मध्यम, कठिन (Choose difficulty level: easy, medium, hard)
- भाषा चुनें: मिश्रित, अंग्रेजी, हिंदी (Choose language: mixed, English, Hindi)
- प्रश्न पढ़ें: त्रिज्या दी गई होगी या आयतन दिया होगा (Read question: radius will be given or volume will be given)
- सूत्र लागू करें: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) या r = ∛[3V/(4π)] (Apply formula: V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) or r = ∛[3V/(4π)])
- गणना करें और सही विकल्प चुनें (Calculate and select correct option)
- समय सीमा: 30 सेकंड प्रति प्रश्न (Time limit: 30 seconds per question)
- रिजल्ट देखें: स्कोर, शुद्धता, विस्तृत हल (View results: score, accuracy, detailed solutions)
विभिन्न स्तरों के लिए अभ्यास (Practice for Different Levels)
| Level / स्तर | Radius Range / त्रिज्या सीमा | π Value / π मान | Question Types / प्रश्न प्रकार |
|---|---|---|---|
| Easy / आसान | 1-7 units | 22/7 or 3.14 | Direct volume calculation |
| Medium / मध्यम | 3-14 units | 22/7 or 3.14 | Find radius, diameter problems |
| Hard / कठिन | 5-21 units | π or 3.1416 | Complex problems, hemispheres, comparison |
Final Practice Tips / अंतिम अभ्यास टिप्स
- सूत्र V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) को याद रखें (Memorize formula V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\))
- गोले और अर्धगोले के सूत्रों में अंतर समझें (Understand difference between sphere and hemisphere formulas)
- 22/7 का उपयोग करने का अभ्यास करें (विशेषकर जब r 7 का गुणज हो) (Practice using 22/7, especially when r is multiple of 7)
- व्यास और त्रिज्या में अंतर समझें (Understand difference between diameter and radius)
- त्रिज्या के घन की गणना में सावधान रहें (r³ = r × r × r) (Be careful in calculating cube of radius - r³ = r × r × r)
- वास्तविक जीवन की वस्तुओं का आयतन मापें (जैसे गेंद, फल) (Measure volume of real-life objects like balls, fruits)
- नियमित अभ्यास करें (Practice regularly)
गोले का आयतन सूत्र V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) त्रि-आयामी ज्यामिति का एक मौलिक और सुंदर सूत्र है जो विज्ञान, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह न केवल गणित की परीक्षाओं के लिए आवश्यक है बल्कि ब्रह्मांड की संरचना समझने में भी मदद करता है। (The sphere volume formula V = \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) is a fundamental and beautiful formula in three-dimensional geometry that is widely used in science, engineering, and daily life. It is not only essential for mathematics exams but also helps in understanding the structure of the universe.)
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