📐 समलंब का क्षेत्रफल (Area of Trapezium) MCQ Quiz
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Detailed Solutions/विस्तृत हल:
समलंब का क्षेत्रफल (Area of Trapezium): Complete Guide
समलंब क्या है? (What is Trapezium?)
समलंब (ट्रैपेज़ियम) (Trapezium) is a quadrilateral (four-sided polygon) that has at least one pair of parallel sides. In some countries (like the USA), it's called a trapezoid. The parallel sides are called bases, and the non-parallel sides are called legs.
समलंब के गुण: (Properties of Trapezium:)
- कम से कम एक जोड़ी समानांतर भुजाएँ होती हैं (At least one pair of parallel sides)
- समानांतर भुजाओं को आधार (bases) कहते हैं (Parallel sides are called bases)
- असमानांतर भुजाओं को टाँगें (legs) कहते हैं (Non-parallel sides are called legs)
- ऊँचाई दोनों आधारों के बीच लंबवत दूरी है (Height is perpendicular distance between bases)
- समद्विबाहु समलंब में टाँगें बराबर होती हैं (In isosceles trapezium, legs are equal)
समलंब का क्षेत्रफल सूत्र (Trapezium Area Formula)
Area = ½ × (sum of parallel sides) × height
A = ½ × (a + b) × h
Formula Components / सूत्र के घटक:
- a = पहली समानांतर भुजा (First parallel side)
- b = दूसरी समानांतर भुजा (Second parallel side)
- h = ऊँचाई (Height - perpendicular distance between parallel sides)
- A = क्षेत्रफल (Area in square units)
- ½ या 1/2 एक नियतांक है (½ or 1/2 is a constant)
📝 Important Note / महत्वपूर्ण नोट
ऊँचाई (h) हमेशा दोनों समानांतर भुजाओं (आधारों) के बीच लंबवत दूरी होती है। यह टाँग (leg) की लंबाई नहीं है जब तक कि टाँग आधार पर लंबवत न हो।
Height (h) is always the perpendicular distance between the two parallel sides (bases). It is not the length of the leg unless the leg is perpendicular to the bases.
हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
Example 1: Basic Calculation / मूल गणना
Problem / प्रश्न: Find the area of a trapezium with parallel sides a=8 cm, b=12 cm, and height h=5 cm.
Answer / उत्तर: The area of the trapezium is 50 square centimeters.
Example 2: Finding Height / ऊँचाई ज्ञात करना
Problem / प्रश्न: Area = 84 m², a=10 m, b=14 m, find height.
Answer / उत्तर: Height = 7 meters.
Example 3: Finding Missing Parallel Side / लुप्त समानांतर भुजा ज्ञात करना
Problem / प्रश्न: Area = 60 cm², a=8 cm, h=6 cm, find b.
Answer / उत्तर: b = 12 cm.
Example 4: Different Units / विभिन्न इकाइयाँ
Problem / प्रश्न: a=150 cm, b=2 m, h=0.8 m. Find area in m².
Answer / उत्तर: Area = 1.4 square meters.
💡 Calculation Tips / गणना टिप्स
- सूत्र याद रखें: A = ½ × (a+b) × h (Remember formula: A = ½ × (a+b) × h)
- पहले (a+b) जोड़ें, फिर ½ से गुणा करें, फिर h से गुणा करें (First add (a+b), then multiply by ½, then multiply by h)
- ऊँचाई हमेशा समानांतर भुजाओं के बीच लंबवत दूरी है (Height is always perpendicular distance between parallel sides)
- गणना से पहले सभी माप समान इकाइयों में रखें (Keep all measurements in same units before calculation)
- समलंब में दो ½ होते हैं: एक सूत्र में और एक त्रिभुज काटने में (Trapezium has two ½'s: one in formula and one in cutting triangle)
समलंब के प्रकार (Types of Trapezium)
| Type / प्रकार | Properties / गुण | Area Formula / क्षेत्रफल सूत्र |
|---|---|---|
| Right Trapezium समकोण समलंब |
One leg perpendicular to bases एक टाँग आधारों पर लंबवत |
A = ½(a+b)h (h = perpendicular leg) |
| Isosceles Trapezium समद्विबाहु समलंब |
Non-parallel sides equal असमानांतर भुजाएँ बराबर |
A = ½(a+b)h |
| Scalene Trapezium विषमबाहु समलंब |
All sides of different lengths सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की |
A = ½(a+b)h |
| Acute Trapezium न्यूनकोण समलंब |
Both base angles < 90° दोनों आधार कोण < 90° |
A = ½(a+b)h |
| Obtuse Trapezium अधिककोण समलंब |
One base angle > 90° एक आधार कोण > 90° |
A = ½(a+b)h |
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग (Real-World Applications)
🏠 Construction & Architecture / निर्माण और वास्तुकला:
- ट्रैपेज़ॉइडल छतों का क्षेत्रफल (Area of trapezoidal roofs)
- समलंबाकार खिड़कियों के लिए कांच (Glass for trapezoidal windows)
- रैंप और ढलानों का क्षेत्रफल (Area of ramps and slopes)
- बांधों और नहरों के क्रॉस-सेक्शन (Cross-sections of dams and canals)
📐 Land Surveying & Agriculture / भूमि सर्वेक्षण और कृषि:
- समलंबाकार खेतों का क्षेत्रफल (Area of trapezoidal fields)
- असमान भूखंडों की माप (Measurement of irregular plots)
- सिंचाई चैनलों का क्रॉस-सेक्शनल एरिया (Cross-sectional area of irrigation channels)
- तिरछी जमीन का क्षेत्रफल (Area of sloping land)
📏 Engineering & Design / इंजीनियरिंग और डिजाइन:
- मशीन पार्ट्स का क्रॉस-सेक्शन (Cross-section of machine parts)
- एरोडायनामिक सतहों का क्षेत्रफल (Area of aerodynamic surfaces)
- स्ट्रक्चरल बीम का क्षेत्रफल (Area of structural beams)
- रोड और पुल निर्माण (Road and bridge construction)
अन्य चतुर्भुजों से तुलना (Comparison with Other Quadrilaterals)
| Shape / आकृति | Area Formula / क्षेत्रफल सूत्र | Example / उदाहरण | Area / क्षेत्रफल |
|---|---|---|---|
| Trapezium / समलंब | A = ½(a+b)h | a=6, b=10, h=5 | ½(6+10)×5=40 |
| Parallelogram / समांतर चतुर्भुज | A = b × h | b=10, h=5 | 10×5=50 |
| Rectangle / आयत | A = l × w | l=10, w=5 | 10×5=50 |
| Square / वर्ग | A = a² | a=7 | 7²=49 |
| Rhombus / समचतुर्भुज | A = b × h or ½×d₁×d₂ | b=10, h=5 | 10×5=50 |
| Triangle / त्रिभुज | A = ½ × b × h | b=10, h=5 | ½×10×5=25 |
⚠️ Common Mistakes to Avoid / बचने के लिए सामान्य गलतियाँ
- सभी भुजाओं को जोड़ना (a+b+c+d) (Adding all sides a+b+c+d)
- ऊँचाई के बजाय टाँग की लंबाई का उपयोग (Using leg length instead of height)
- ½ भूल जाना (Forgetting the ½)
- केवल एक आधार का उपयोग करना (Using only one base instead of sum of both)
- असमान इकाइयों का उपयोग (Using different units for measurements)
- समांतर चतुर्भुज सूत्र (b×h) का उपयोग (Using parallelogram formula b×h)
विशेष मामले (Special Cases)
Case 1: When it's a parallelogram / जब यह समांतर चतुर्भुज हो
यदि a = b (दोनों समानांतर भुजाएँ बराबर), तो समलंब समांतर चतुर्भुज बन जाता है:
If a = b (both parallel sides equal), then trapezium becomes parallelogram:
Example: a=10, b=10, h=6
A = ½(10+10)×6 = ½×20×6 = 10×6 = 60 (which is same as b×h = 10×6 = 60)
Case 2: When it's a triangle / जब यह त्रिभुज हो
यदि a=0 या b=0, तो समलंब त्रिभुज बन जाता है:
If a=0 or b=0, then trapezium becomes triangle:
Example: a=0, b=12, h=5
A = ½(0+12)×5 = ½×12×5 = 6×5 = 30 (which is same as ½×b×h = ½×12×5 = 30)
Case 3: Isosceles Trapezium / समद्विबाहु समलंब
समद्विबाहु समलंब में, टाँगें बराबर होती हैं और आधार कोण बराबर होते हैं।
In isosceles trapezium, legs are equal and base angles are equal.
Example: a=8, b=12, h=4, legs=5 each
A = ½(8+12)×4 = ½×20×4 = 10×4 = 40
क्षेत्रफल ज्ञात करने की वैकल्पिक विधियाँ (Alternative Methods to Find Area)
1. त्रिभुजों में विभाजित करके: (By dividing into triangles:)
समलंब को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। क्षेत्रफल = त्रिभुज 1 का क्षेत्रफल + त्रिभुज 2 का क्षेत्रफल
Trapezium can be divided into two triangles. Area = Area of triangle 1 + Area of triangle 2
2. आयत और त्रिभुज में विभाजित करके: (By dividing into rectangle and triangle:)
एक समलंब को एक आयत और एक त्रिभुज में विभाजित किया जा सकता है।
A trapezium can be divided into a rectangle and a triangle.
क्विज टूल का उपयोग कैसे करें (How to Use This Quiz Tool)
- कठिनाई स्तर चुनें: आसान, मध्यम, कठिन (Choose difficulty level: easy, medium, hard)
- भाषा चुनें: मिश्रित, अंग्रेजी, हिंदी (Choose language: mixed, English, Hindi)
- प्रश्न पढ़ें: दो समानांतर भुजाएँ और ऊँचाई दी गई होगी (Read question: two parallel sides and height will be given)
- सूत्र लागू करें: A = ½ × (a+b) × h (Apply formula: A = ½ × (a+b) × h)
- गणना करें और सही विकल्प चुनें (Calculate and select correct option)
- समय सीमा: 30 सेकंड प्रति प्रश्न (Time limit: 30 seconds per question)
- रिजल्ट देखें: स्कोर, शुद्धता, विस्तृत हल (View results: score, accuracy, detailed solutions)
विभिन्न स्तरों के लिए अभ्यास (Practice for Different Levels)
| Level / स्तर | Parallel Sides Range / समानांतर भुजाओं की सीमा | Height Range / ऊँचाई सीमा | Time per Question / प्रति प्रश्न समय |
|---|---|---|---|
| Easy / आसान | 2-10 units | 2-8 units | 30 seconds |
| Medium / मध्यम | 5-25 units | 4-15 units | 25 seconds |
| Hard / कठिन | 10-50 units | 8-30 units | 20 seconds |
Final Practice Tips / अंतिम अभ्यास टिप्स
- सूत्र A = ½ × (a+b) × h को याद रखें (Memorize formula A = ½ × (a+b) × h)
- ऊँचाई और टाँग में अंतर समझें (Understand difference between height and leg)
- गणना से पहले इकाइयों को समान करें (Make units same before calculation)
- वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करें (Solve real-life problems)
- नियमित अभ्यास करें (Practice regularly)
- अपने उत्तरों की जाँच के लिए अनुमान का उपयोग करें (Use estimation to check your answers)
समलंब का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ × (a+b) × h ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण सूत्र है जो कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी है। (The trapezium area formula A = ½ × (a+b) × h is an important formula in geometry that is useful in solving many practical problems.)
इस क्विज टूल के साथ नियमित अभ्यास आपकी गणना गति, शुद्धता और आत्मविश्वास में सुधार करेगा। अभी क्विज शुरू करें! (Regular practice with this quiz tool will improve your calculation speed, accuracy, and confidence. Start the quiz now!)